Bai tap ham so lien tuc

Hệ thống kiến thức về hàm số liên tục
1) Hàm số liên tục tại một điểm
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
)x(f)x(flim
0
xx
0
=

f(x) liên tục tại x
0


(a; b)
2) Hàm số liên tục trên một khoảng
*) Định nghĩa:
- Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b) được gọi là liên tục trên
khoảng đó, nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng ấy
*) Định lý 1:
Tổng, hiệu, tích, thương ( với mẫu khác 0) của những hàm số liên tục tại một
điểm là liên tục tại điểm đó
*) Định lý 2:
Các hàm số đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm số lượng giác là liên tục trên tập xác
định của chúng


3) Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*) Hệ quả:
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
c (a; b): f(c) = 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Bài tập hàm số liên tục
f(x) liên tục
tại một điểm
f(x) liên tục
trên một khoảng
f(x) = 0
có nghiệm


BàI tập
Đ3 hàm số liên tục

Vấn đề 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x
0
*)Ví dụ áp dụng:
Bài toán:
Cho hàm số: f(x) =
1x
1x
3


nếu x

1
3
nếu x = 1
Xét tính liên tục của hàm số f(x) tại điểm x
0
= 1
Bài giải: TXĐ: R
)x(flimTính
1x
=
1x
1x
lim
3
1x



( )
1xxlim
2
1x
++

= 3
f (1) = 3
=>
)1(f)x(flim
1x
=

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục tại điểm x
0
= 1
Hàm số f(x) xác định trên khoảng (a; b)
f(x) liên tục tại x
0


(a; b)
)x(f)x(flim
0
xx
0
=

=
*)Phương pháp:


Cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x = 0
Có thể gán cho f(0) giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f(x) trở thành liên tục tại
x = 0 ?
b) Ta có:
Vậy không thể gán cho f(0) bất cứ giá trị nào để f(x) liên tục tại x = 0.
Bài giải:
-2
Vậy: có thể gán f(0 ) = - 2 thì hàm số f(x) liên tục tại x = 0
x
x2x
)x(f)a
2

=
2
2
x
x2x
)x(f)b
+
=
a) Ta có:
Bài 2 ( tr137 ):
=

)x(flim
0x
=


x
)2x(x
lim
0x
=


x
x2x
lim
2
0x
=

)2x(lim
0x
=

)x(flim
0x
=
+

2
2
0x
x
x2x
lim
=
+

2
0x
x
)2x(x
lim
=
+

x
2x
lim
0x



Vấn đề 2: Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
*)Phương pháp:
áp dụng định lý 1, 2: các hàm số đa thức, hàm số hữu tỷ,
hàm số lượng giác,
liên tục trên tập xác định của chúng
*)Ví dụ áp dụng
Bài số 1 ( trang 136 )
Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục
thì chỉ ra các điểm không liên tục.
1x3x2x)x(f)a
23
++=
x2x
6x5x
)x(f)c
2
2

+
=
x
tgx
y)d =
4x
16x
2


e) f( x) =
8 nếu x = 4
nếu x

4
2x3x
1x2
)x(f)b
2
+
+
=


Bài số 1 ý e ( trang 136 )
Xét xem các hàm số sau có liên tục tại mọi x không, nếu chúng không liên tục
thì chỉ ra các điểm không liên tục.
4x
16x
2


f( x) =
8 nếu x = 4
nếu x

4
Bài giải:
Tập xác định: D = R
Hàm số liên tục tại x = 4
Hàm số liên tục x

4
Xét tại x = 4:
4x
16x
lim
2
4x



)4x(lim
4x
+

= = 8
f(4) = 8

)x(flim
4x
)x(flim
4x
=
= f(4)

Kết luận: Hàm số đã cho liên tục trên R



Bài số 3 ( tr137 ): Cho f(x) =
Để f(x) liên tục tại x = 2 cần có 3 = 4a
ax
2
nếu x 2
3 nếu x > 2
( a là hằng số )
Tìm a để hàm số f(x) là liên tục với mọi x; Khi đó hãy vẽ đồ thị hàm số y = f(x)
Khi x < 2: f(x) = ax
2
nên hàm số liên tục.
Khi x > 2: f(x) = 3 nên hàm số liên tục.
Khi x = 2:
Bài giải:
( ) ( )
2fa4axlimxfLim
2
2x2x
===


( )
33limxfLim
2x2x
==
++

4
3
a =
Vậy
4
3
a =
thì f(x) liên tục với mọi x.
Khi đó f( x) =
nếu x 2
2
x
4
3
nếu x > 2
3


f( x) =
nếu x 2
2
x
4
3
nếu x > 2
3
Vẽ đồ thị hàm số
3
3/4
21-1-2
x
y
O


Vấn đề 3 Chứng minh phương trình f(x) = 0 có nghiệm
*)Phương pháp
Sử dụng hệ quả
f(x) liên tục trên [a ;b]
f(a).f(b) < 0
c (a; b):
f(c) = 0
Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (a; b)
Ví dụ áp dụng
Bài toán:
Cho phương trình: x
3
- 3 x + 1 = 0
Bài giải:
Chứng minh rằng phương trình có nghiệm ( 1; 2 )
Hàm số f(x) liên tục trên R hàm số f(x) liên tục trên đoạn [1 ;2]
f(1) =
f(2) = 3
f(1).f(2) = - 3 < 0
x
0
( 1; 2) :
f(x
0
) = 0
Kết luận: phương trình có nghiệm ( 1; 2 )
-1
f(x)= x
3
- 3 x + 1


BàI tập
Đ3 hàm số liên tục
Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm
Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng
Chứng minh phương trình có nghiệm trên khoảng
Bài tập về nhà:
Bài số:1, 2, 3, 4, 5(SGK-Trang 137 -138)
Bài số: 6, 7, 8 (SBT -Trang 118)

Xem chi tiết: Bai tap ham so lien tuc