Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
8
x
y
x=1
y=x+1
y=-x-1
Vấn đề 2: Biện luận tương giao của hai đường:
Phương pháp : Cho hai đường cong (C
1
): y = f(x) và (C
2
): y= g(x)
Biện luận sự tương giao của (C
1
) với (C
2
)
* Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C
1
) và (C
2
)
f(x) = g(x)
⇔
f(x) – g(x) = 0 (1)
* Giải và biện luận phương trình (1)
* Kết luận : số nghiệm của phương trình (1) chính là số giao điểm của (C
1
) với (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm đơn : (C
1
) cắt (C
2
)
- Phương trình (1) có nghiệm kếp : (C
1
) tiếp xúc (C
2
)
Bài toán 1: Cho hàm số y = f(x) = x
3
– 3x + 2 . (D) là đường thẳng qua A(2; 4) có
hệ số góc m. Biện luận theo m số giao điểm của (C) và (D)
Giải: (D) qua A(2; 4) , hệ số góc m : y = m(x – 2) + 4
(C) : y = x
3
– 3x + 2
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D)
x
3
– 3x + 2 = m(x – 2) + 4
(x – 2)( x
2
+ 2x + 1 – m) = 0 (1)
5
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
* Số giao điểm của (C) và (d) chính là số nghiệm của phương trình (1)
- Phương trình (1) luôn luôn có nghiệm x = 2
- Xét phương trình g(x) = x
2
+ 2x + 1 – m = 0 (2)
Nếu g(x) = 0 có nghiệm x = 2 thì 9 – m = 0
⇔
m = 9
Do đó : m = 9 thì (1) có nghiệm kép x = 2, nghiệm đơn x = – 4
Nếu m ≠ 9 thì g(x) = 0 có nghiệm x ≠ 2
Ta có
m
=∆
′
m < 0
0
<∆
′
⇔
: (2) vô nghiệm
m = 0
0
=∆
′
⇔
: (2) có nghiệm kép x = – 1
0 < m ≠ 9
0
>∆
′
⇔
: (2) có 2 nghiệm phân biệt khác 2
- Kết luận:
m < 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm
m = 0 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại 1 điểm
0 < m ≠ 9 : (D) cắt (C) tại 3 điểm
m = 9 : (D) cắt (C) tại 1 điểm và tiếp xúc đồ thò tại điểm (2; 4)
Bài toán 2: Cho hàm số y =
2
x 4x 1
x 2
y
+ +
=
+
(C)
Tìm tất cả các giá trò m để đường thẳng (D) y = mx + 2 – m cắt đồ thò
(C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng một nhánh của đồ thò (C)
Giải: Phương trình hoàn độ giao điểm của (C) và (D) :
x
2
+ 4x + 1 = mx
2
+ 2x + mx + 4 – 2m (với x ≠ – 2)
⇔
(1 – m)x
2
+ (2 – m)x + 2m – 3 = 0 (*)
(D) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc một nhánh của đồ thò (C)
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt x
1
; x
2
sao cho x
1
< x
2
< – 2 V – 2 < x
1
< x
2
(
)
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ]
>−+−−−−=−
>−−−+−=∆
≠−=
⇔
032221412
03214
2
44
01
mmmmaf
mmmm
ma
>−
>+
⇔
m) (
m m
013
01624
2
9
6
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
Kết luận :
>
≠
⇔
1.
3
4
m
m
thì (D) cắt đồ thò (C) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng
một nhánh của (C)
Bài toán 3:Cho hàm số
1
2
−
=
x
x
y
. Tìm 2 điểm A , B nằm trên đồ thò (C) và đối
xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1
Giải: Vì A , B đối xứng nhau qua đường thẳng (d) y = x – 1. Suy ra A, B thuộc
đường thẳng (d’) y = –x + m
Phương trình hoành độ giao điểm của (d’) và (C)
x
2
= (x – 1)( – x + m) (đk : x ≠ 1)
⇔
2x
2
– (m + 1)x + m = 0 (*)
Ta có
∆
= (m + 1)
2
– 8m > 0
⇔
m
2
– 6m + 1 > 0
+>
−<
⇔
53
53
m
m
Giả sử (d’) cắt (C) tại 2 điểm phân biệt A, B. Gọi I là trung điểm A, B:
−
=+−=
+
=
+
=
⇒
4
13
4
1
2
m
mxy
mxx
x
II
BA
I
A và B đối xứng qua (d)
⇒
I thuộc (d): y = x – 1
⇒
1
4
1
4
13
−
+
=
−
mm
⇒
m = – 1
Lúc đó (*) thành trở thành : 2x
2
– 1 = 0
⇔
x =
2
1
±
Vậy
+−
−
2
2
1;
2
1
A
−−
2
2
1;
2
1
B
Bài toán 4:Cho (P) y = x
2
– 2x – 3 và đường thẳng (d) cùng phương đường y = 2x
sao
7
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
cho (d) cắt (P) tại 2 điểm A, B
a) Viết phương trình (d) khi 2 tiếp tuyến của (P) tại A và B vuông góc
b) Viết phương trình (d) khi AB = 10
Giải: Gọi (d): y = 2x + m là đường thẳng cùng phương với đường y = 2x
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P)
x
2
– 2x – 3 = 2x + m
⇔
x
2
– 4x – 3 – m = 0
(d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A và B
⇔
∆
′
= 7 + m > 0
⇔
m > –7
Lúc đó gọi x
A
, x
B
là 2 nghiệm của (1) ta có
S = x
A
+
x
B
= 4
P = x
A
x
B
= – 3 – m
a) Tiếp tuyến của (P) tại A, B vuông góc f’(x
A
)f’(x
B
) = –1
⇔
(2 x
A
–2)(2 x
B
–2) = – 1
⇔
4P – 4S + 5 = 0
⇔
4(–3 –m) –16 + 5 = 0
⇔
m =
4
23
−
(nhận vì m > –7)
b) A, B thuộc (d)
⇒
y
A
= 2 x
A
+ m
y
B
= 2 x
B
+ m
Ta có AB
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (y
B
– y
A
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
+ (2 x
A
–2 x
B
)
2
= 100
⇔
(x
A
– x
B
)
2
= 20
⇔
S
2
– 4P = 20
⇔
16 + 4(3+m) = 20
⇔
m = – 2 (nhận vì m > –7)
Bài toán 5 : Cho hàm số
( ) ( )
H
mx
mxxfy
+
+−+==
1
3
Tìm a để đường thẳng
( )
∆
: y = a(x+1) + 1 cắt (H) tại 2 điểm có hoành
độ trái dấu
Giải:Phương trình hoành độ giao điểm cả (C) và
( )
∆
:
( ) ( )
111
1
1
2
−≠++=
+
++
x:đk xa
x
x
( )
11233
22
++++=++⇔
xxxaxx
( ) ( ) ( ) ( )
* 02121
2
=−+−+−=⇔
axaxxxg
( )
∆
cắt (C) tại 2 điểm có hoành độ trái dáu
8
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
⇔
(*) có 2 nghiệm phân biệt
2121
01, xxxx
<<Λ−≠
( ) ( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
21
012121
021
01
01
001
<<⇔
≠=−+−−−
<−−
⇔
≠−
≠−
<−
⇔
a
aaa
aa
a
g
ga
Vấn đề 3: Viết phương trình tiếp tuyến :
Phương pháp :
1)Loại 1: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) tại điểm M(x
0
; y
0
)
Tính y’ = f’(x)
⇒
y’(x
0
) = f’(x
0
)
Phương trình Tiếp tuyến (C) tại M(x
0
;y
0
) là: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
2)Loại 2: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và đi qua điểm A
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) đi qua A(x
A
; y
A
) và có hệ số
góc k : (D) : y =k(x – x
A
) + y
A
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = k(x – x
A
) + y
A
(1)
* (D) là tiếp tuyến của (C) khi (1) có nghiệm kép, từ đó xác đònh đïc k. Từ đó
viết được phương trình (D)
- Cách 2:
* Gọi M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm
* Phương trình tiếp tuyến (D) tại M: (y – y
0
) = f’(x
0
)(x – x
0
)
* (D) đi qua điểm A nên : (y
A
– y
0
) = f’(x
0
)(x
A
– x
0
) (1)
Giải (1) tìm được x
0
, từ đó tìm được phương trình của (D)
3)Loại 3: Viết phương trình đường cong (C) y = f(x) và có hệ số góc cho trước
- Cách 1:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) là tiếp truyến của (C) và có hệ số góc k
(D) : y = kx + m (1)
* Phương trình hoành độ giao điểm của (C) và (D): f(x) = kx + m
* (D) là tiếp tuyến của (C)
⇔
(1) có nghiệm kép. Từ đó tìm được giá trò của m ,
từ đó viết được phương trình của (D)
- Cách 2:
* Gọi (D) là tiếp tuyến của (C) và M(x
0
; y
0
) là tiếp điểm:
9
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
(D) có hệ số góc k
(D) có hệ số góc f’(x
0
)
⇒
f’(x
0
) = k (1)
* Giải (1) tìm được x
0
; y
0
= f(x
0
). Từ đó viết được phương trình của (D)
Bài toán 1: Cho hàm số (C)
22
43
2
−
+−
=
x
xx
y
. M là một điểm tuý ý trên (C) Tiếp
tuyến của (C) tại M cắt đường tiệm cận xiên và đứng tại A và B .
Chứng tỏ rằg M là trung điểm của AB, và tam giác IAB (I là giao điểm
của hai đường tiệm cận) có diện tích không phụ thuộc vào M
Giải:
( )
(C) 1x
≠
−
+−=
−
+−
=
1
1
1
222
43
2
x
x
x
xx
y
( ) ( )
⇒∈
CbaM ;
tiếp tuyến tại M là (d)
( )
( )
baxyy
a
+−
′
=
−
+−=
1
1
1
2 a
a
b
( )
( )
1
1
1
2
1
1
2
1
2
−
+−+−
−
−=⇔
a
a
ax
a
y
Tiệm cận đứng của (C) là (d
1
) : x = 1
( ) ( )
−
+−=∩⇒
1
2
2
1
;1
1
a
Add
Tiệm cận xiên của (C) là (d
2
) :
( ) ( )
−−=∩⇒−=
2
3
;121
2
2
aaBdd
x
y
Ta có :
( ) ( )
MBA
xaaxx
==−+=+
121
2
1
2
1
( )
MBA
y
a
a
a
a
yy
=
−
+−=
−+
−
+−=+
1
1
1
22
3
1
2
2
1
2
1
2
1
Vậy M là trung điểm của AB
Giao điểm của 2 tiệm cận là
IBIAIAB
xxyySI
−−=⇒
−
2
1
2
1
;1
222.
1
2
.
2
1
=−
−
=
a
a
Vậy S
IAB
không phụ thuộc vào M
Bài toán 2: Cho hàm số y = x
3
+ 3x
2
– 9x + 5 (C) .
Tìm tiếp tuyến của đồ thò (C) có hệ số góc nhỏ nhất
Giải : Gọi M(x
0
; y
0
)
( )
C
∈
: hệ số góc tiếp tuyến tại M : k = f’(x
0
) =
963
0
2
0
−+
xx
Ta có
( )
121213
2
0
−≥−+=
xk
. Dấu “=” xảy ra khi x
0
= – 1
Vậy Min k = – 12
⇔
M(–1; 16)
Do đó trong tất cả các tiếp tuyến của (C) thì tiếp tuyến tại điểm uốn có hệ số
góc nhỏ nhất
Bài toán 3: Cho hàm số y = x
3
+ mx
2
+ 1 (Cm)
10
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Tìm m để (Cm) cắt (d) y = – x + 1 tại 3 điểm phân biệt A(0; 1), B, C
sao
cho các tiếp tuyến của Cm) tại B và C vuông góc nhau
Giải: Phương trình hoành độ giao điểm (d) và (Cm)
x
3
+ mx
2
+ 1 = – x + 1
⇔
x(x
2
+ mx + 1) = 0 (*)
Đặt g(x) = x
2
+ mx + 1 . (d) cắt (Cm) tại 3 điểm phân biệt
⇔
g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt khác 0
( )
−<
>
⇔
≠=
>−=∆
⇔
2
2
010
04
2
m
m
g
mg
Vì x
B
, x
C
là nghiệm của g(x) = 0
==
−=+=
⇒
1
CB
CB
xxP
mxxS
Tiếp tuyến tại B và C vuông góc
( ) ( )
1
−=
′′
⇔
BC
xfxf
( )( )
12323
−=++⇔
mxmxxx
CBCB
( )
[ ]
1469
2
−=+++⇔
mxxmxxxx
CBCBCB
( )
[ ]
14691
2
−=+−+⇔
mmm
102
2
=⇔
m
5
±=⇔
m
(nhận so với điều kiện)
Bài toán 4: Cho hàm số y = x
3
– 3x – 2 (H)
Xét 3 điểm A, B, C thẳng hàng thuộc (H). Gọi A
1
, B
1
, C
1
lần lït là
giao điểm của (H) với các tiếp tuyến của (H) tại A, B, C. Chứng minh
rằng A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng.
Giải: Gọi M(x
0
; y
0
) thuộc (H). Phương trình tiếp tuyến của (H) tại M
( )
( )
( )
( ) ( )
12132313
32
00
3
0
2
0
+−−=−−+−−=
xxxxxxxxyd
Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (H)
( ) ( )
121323
32
0
3
+−−=−−
xxxxx
( ) ( )
02
0
2
0
=+−⇔
xxxx
11
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
( )
−=
=
⇔
0
0
2xx
xx ùpnghiệm ke
Gọi A(a; y
A
) , B(b; y
B
) , C(c; y
C
)
⇒
giao điểm A
1
, B
1
, C
1
của các tiếp tuyến tại A, B, C với (H)
( )
268;2
3
1
−+−−=
aaaA
( )
268;2
3
1
−+−−=
bbbB
( )
268;2
3
1
−+−−=
cccC
* A, B, C thẳng hàng :
( )
( )
acac
abab
ac
ab
−−−
−−−
=
−
−
⇔
3
3
33
33
3
3
1
22
22
−++
−++
=⇔
acac
abab
abbacc
+=+⇔
22
( )( )
0=++−⇔ cbabc
( )
bc ≠=++⇔ 0cba
* A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng :
( )
( )
( )
( )
caca
baba
ca
ba
−−−
−−−
=
−
−
⇔
68
68
22
22
33
33
( )
( )
34
34
1
22
22
−++
−++
=⇔
caca
baba
abbacc
+=+⇔
22
( )( )
0
=++−⇔
cbacb
( )
bc ≠=++⇔ 0cba
Vậy : A, B, C thẳng hàng
⇔
A
1
, B
1
, C
1
thẳng hàng
Vấn đề 4: Biện luận số nghiệm phương trình, bất phương trình bằng đồ thò:
Phương pháp :
1)Dạng 1: cho phương trình f(x m) = 0 (1)
* Đưa về dạng : g(x) = m
* Vẽ đồ thò (C) : y = g(x) và (D) : y = m
* Xét sự tương giao của (C) và (D) trên đồ thò theo tham số m
* Kết luận : số giao điểm trên đồ thò là số nghiệm của phương trình (1)
2)Dạng 2: f(x) = g(m)
* y = g(m) là đường thẳng luôn qua M(x
0
; y
0
) cố đònh
* y = g(m) là đường thẳng có hệ số góc khôâng đổi
* g(m) = f(m)
12
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
Bài toán 1: Cho hàm số y = x
3
– 3x (C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Tìm giá trò lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số
xxy
3
sin33sin
−−=
Giải: a) Đồ thò (C)
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4
-4
-2
2
4
x
y
b)
xxy
3
sin33sin
−−=
( )
xxxy
33
sin3sin4sin3 −+−=⇔
xxy
33
sin3sin
−=⇔
Đặt t = sinx ,
[ ]
1;1
−∈
t
Xét y = t
3
– 3t với
[ ]
1;1
−∈
t
Nhìn vào đồ thò (C) ta thấy
[ ]
Π+
Π
−=⇔−=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
kxtMaxy
t
[ ]
( )
Zlk,
∈Π+
Π
=⇔=⇔=
−∈
2
2
12
1;1
lxtMiny
t
Bài toán 2: Cho hàm số
1
12
2
+
++
=
x
xx
y
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò hàm số
b) Tìm giá trò lớn nhất , nhỏ nhất của biểu thức
1cos
1coscos2
2
+
++
=
x
xx
y
Giải: a)Đồ thò (C)
13
Chuyên đề khảo sát hàm sô1 Năm học 07-08
-8 -6 -4 -2 2 4 6 8
-12
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
6
x
y
b) Đặt
10cos
≤≤⇒=
txt
Vậy
1
12
2
+
++
=
t
tt
A
với
[ ]
1;0
=
D
Nhìn vào đồ thò hàm số (1) ở trên khi xét
[ ]
1;0
∈
t
ta thấy:
Π=⇔=⇔
−=
=
⇔
−=
=
⇔= kxx
x
x
t
t
MaxA 0sin
1cos
1cos
)(
2
1
1
2
loại
( )
Zlk,
∈Π+
Π
=⇔=⇔=⇔=
lxxtMinA
2
0cos01
Bài toán 3: Cho hàm số
2
3
2
+
−+
=
x
xx
y
(C)
a) Khảo sát và vẽ đồ thò
b) Biện luận theo m số nghiệm của:
( ) ( )
0231
24
=−−−+=
mtmttf
Giải: a)
14
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét