Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
77
Phần Ii: cơ sở lý thuyết cán ngang và nghiêng
*******
Chơng 6
Cán ngang
6.1- Bề mặt tiếp xúc giữa dụng cụ và trục cán
Quá trình biến dạng ngang giữa trục cán và phôi ta hình dung nh quá trình
rèn tự do một thanh thép tròn, sau mỗi lần đập búa ngời ta lại quay phôi một góc
bé và tiếp tục đập búa lần thứ hai. Quá trình đợc tiếp tục cho đến khi phôi đợc kéo
dài ra và tiết diện ngang bị giảm đi. Nếu thực hiện quá trình đó theo sơ đồ cán nh
hình 6.1a thì hai trục cán thay thế cho búa đập.
Quá trình cán ngang thờng
gặp trong công nghệ sản xuất
phôi ống cho công nghệ cán ống
không hàn, sản xuất bi cầu, cán
các loại bánh răng, bulông và các
chi tiết có tiết diện thay đổi theo
chu kỳ, cán phôi cho công nghệ
chế tạo máy
Ngày nay phơng pháp cán
ngang xoắn đợc sử dụng rộng rãi
trong nền công nghiệp hiện đại.
Vì vậy, phơng pháp cán ngang
đã đợc nghiên cứu sâu rộng cả
về lý thuyết và thực nghiệm.
6.2- Tính các đại lợng biến dạng khi cán ngang
Lợng biến dạng khi cán ngang chính là sự giảm nhỏ của bán kính vật cán
sau một chu kỳ cán là 1/2 vòng quay của nó (1/2 vòng quay của phôi vì ta có hai
trục cán đồng thời nén lên phôi).
Nếu ta ký hiệu lợng biến dạng đó là
r thì ta có (hình 6.2):
x + y = r
với,
22
brrx =
và
22
bRRy =
Nh vậy, ta có đợc lợng biến dạng r:
+
=
2222
brrbRRr
(6.1)
l
r
l
R
b
r
a)
2b
b)
Hình 6.1- Sơ đồ quá trình cán ngang
a) Cán ngang
b) Rèn tự do phôi tròn
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
78
trong đó, b: chiều rộng bề mặt tiếp xúc
R = D/2: bán kính trục cán
r: bán kính vật cán trớc lúc cán
d: đờng kính vật cán sau 1 lần cán
Từ (6.1) ta có thể đa về dạng:
+
=
22
r
b
11r
R
b
11Rr
(6.2)
Khai triển và bỏ đi các số hạng bậc cao ta
nhận đợc:
22
22
r
b
2
1
1
r
b
1
R
b
2
1
1
R
b
1
(6.3)
Thay (6.3) vào (6.2) ta có:
rR
r.r.R.2
b
+
=
(6.4)
Nếu tiếp tục biến đổi (6.4) bằng cách thay: r = d/2 +
r, ta có:
D
r2
D
d
1
r2d.r
b
2
++
+
=
(6.5)
Qua biểu thức (6.5) ta nhận xét: nếu D
(trờng hợp ép phôi giữa hai
tấm phẳng) và với lợng ép
r rất bé so với D thì:
0
D
r
D
d
đồng thời nếu bỏ qua đại lợng 2
r
2
, ta có:
d.rb = (6.6)
Ký hiệu
=
d
r
là lợng biến dạng của phôi sau 1/2 lần quay của nó so với
đờng kính, vậy:
=
d
b
(6.7)
Vì trong quá trình cán, tiết diện của phôi có hình dáng ovan nên độ dài cung
tiếp xúc có lớn lên, vì thế biểu thức (6.7) đợc viết dới dạng:
=
d
b
(6.8)
trong đó, : hệ số biến đổi chiều rộng của bề mặt tiếp xúc khi cán ngang.
r
l
R
b
r
Hình 6.2- Sơ đồ tính
lợng biến dạng
r
x
y
d
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
79
Bây giờ chúng ta sẽ xét xem lợng biến dạng tới hạn
có giá trị bao nhiêu?
Để xét vấn đề này chúng ta khảo sát sơ đồ
mômen quay của phôi và mômen cản lại sự quay
này trên hình 6.3.
Phôi quay đợc là do mômen của lực ma
sát T tạo ra với tay đòn a. Ta ký hiệu mômen này
là M
1
: M
1
= T.a = P.f.a (6.9)
Hai trục cán tác động lên phôi các lực là
P, các lực này tạo ra một mômen quay với tay
đòn là c, ký hiệu là M
2
:
M
2
= P.c (6.10)
Trong trờng hợp phôi ngừng quay thì M
1
= M
2
, nên: f.a = c (6.11)
Giả thiết rằng chiều dài cung tiếp xúc bằng độ dài dây cung và điểm đạt của
lực P ở chính giữa dây cung. Với một giá trị của c nh ở hình 6.3, ta có:
C = S + d.sin
(d.sin
= x)
trong đó, S: độ dài dây cung
a = d.cos
(d: đờng kính vật cán sau một lần cán)
Thay c và a vào (6.11) ta có:
= sincos.f
d
S
(6.12)
Mặt khác, từ hình 6.3 ta nhận thấy
2
2
D
S
1sin1cosvậydo,sin
D
S
===
Thay vào (6.12) ta có:
D
S
D
S
1f
d
S
2
=
(6.13)
hay,
2
2
f
D
d
1
f
d
S
+
+
=
(6.14)
Vì hệ số ma sát f < 1 nên f
2
có thể bỏ qua và trị số gần đúng của biểu thức
(6.14) có thể viết nh sau:
D
d
1
f
d
S
+
(6.15)
Nh đã nói ở trên, quá trình quay của phôi luôn có hiện tợng tạo ôvan nên
trị số tới hạn của tỷ số S/d (độ dài tiếp xúc tới hạn) có giá trị:
x
P
S/2
Hình 6.3- Sơ đồ mômen
khi cán ngang
a
P
f.P
f.
P
S/2
c
D/2
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
80
D
d
1
f.
d
S
th
+
=
(6.16)
Ta coi độ dài cung tiếp xúc có giá trị nh chiều rộng b đã tìm đợc (6.8) thì:
th
D
d
1
f.
=
+
(6.17)
Vì vậy,
2
2
th
D
d
1
f
+
=
(6.18)
Trong thực tế thì tỷ số giữa chiều rộng của bề mặt tiếp xúc với đờng kính
của phôi là rất bé, lực ma sát cũng rất nhỏ. Vì vậy, có thể đánh giá một cách gần
đúng tỷ số l/d và
th
trong khi hệ số ma sát biến đổi trên chiều rộng của bề mặt tiếp
xúc từ 0 (ở giữa) đến một giá trị tới hạn cũng chỉ bằng hệ số ma sát trợt, có nghĩa
là: 0 < f < f
trợt
Vì vậy, trị số hệ số ma sát trung bình có giá trị:
f
TB
= 0,5.f
trợt
Nếu ta giả thiết rằng f
trợt
= 0,3 và khi tỷ số d/D
0 thì theo biểu thức (6.18)
lợng biến dạng tỷ đối tới hạn
th
có giá trị:
()
%25,2
01
3,0.5,0
2
th
+
=
Vậy, khi cán ngang lợng biến dạng tỷ đối rất bé, bé hơn giá trị tới hạn trên.
6.3- Sự xuất hiện biến dạng dẻo khi cán ngang
Dới tác dụng của ngoại lực (lực của trục cán) sự diễn biến của biến dạng
dẻo trên một mặt cắt nào đó của vùng biến dạng sẽ là một tổng và sự tơng quan
giữa các ứng suất trong vùng biến dạng cũng nh biến dạng khi cán dọc. Muốn
nghiên cứu vấn đề này phải giải đợc bài toán về ứng suất, ở đây cũng là bài toán
phẳng vì ta chỉ xét trên một mặt cắt nào đó của tiết diện.
Giả thiết tiết diện là một vòng tròn, trên một đờng kính thẳng đứng có hai
lực (nén) xuyên tâm và đợc tập trung ở tâm. Ta biết rằng, nếu một đĩa chịu hai lực
nén nh ở hình 6.4 thì ở tâm đĩa chịu một hệ thống ứng suất nén đàn hồi mà phơng
trình viết trong hệ tọa độ trụ là:
()
()
=
=
+
=
2sin
r.
P2
2cos21
r.
P
2cos21
r.
P
(6.19)
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
81
với
: góc biến đổi (hình 6.4).
ứ
ng suất trên biên giới
giữa vùng đàn hồi và dẻo ở tại
tâm vòng tròn phải thoả mãn
các phơng trình về đàn hồi và
dẻo, nghĩa là phải thoả mãn
đợc hệ phơng trình (6.20):
()
()
=+
=
=
+
+
=
+
=
22
2
2
K4
0
02
1
0
1
ở đây ký hiệu
là đạo hàm bậc hai của hai ứng suất
và
(
x
và
y
).
2
2
2
2
2
+
=
Nếu ta thay đổi các giá trị của ứng suất ở biểu thức (6.19) vào phơng trình
dẻo ở biểu thức (6.20), ta có:
22
2
2
2
K2sin
r.
P
162cos.
r.
P
16 =
+
(6.21)
Suy ra,
4
K
r.
P
=
(6.22)
Có nghĩa là với một điều kiện nh ở biểu thức (6.22) thì phơng trình dẻo
thoả mãn, có nghĩa là ở tâm vòng tròn bắt đầu có biến dạng dẻo.
Vậy với lợng ép bao nhiêu thì ở tâm vòng tròn bắt đầu có biến dạng dẻo ?
Lực toàn bộ tác dụng lên bề mặt tiếp xúc khi cán ngang là:
P = p.l (N)
trong đó, l là chiều rộng bề mặt tiếp xúc (độ dài trên hình trụ là l).
Từ biểu thức (6.22) ta suy ra:
p
K
8d
1
p
K
4r
1
=
=
(6.23)
Nếu với một lực đơn vị trung bình tính theo biểu thức (4.36) ta nhận thấy
rằng: ảnh hởng của ma sát tiếp xúc khi cán ngang là không đáng kể vì tải trọng
mang tính tập trung, đồng thời tỷ số giữa chiều rộng b và d cùng rất nhỏ, cho nên có
thể coi n
1.
ả
nh hởng của biến cứng và tốc độ biến dạng cùng có giá trị n
H
= n
v
= 1 vì
fk
AA
B
B
O
xy
y
y
=
x
=
b
r
0
r
r
1
Hình 6.4- Sơ đồ tác dụng lực trên
một tiết diện tròn khi cán ngang
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
82
quá trình là cán nóng, mặt khác tải trọng cũng là tải trọng tĩnh. Vì vậy biểu thức
(4.36) có dạng: p = n
.n
c
.
S
(6.24)
Trên cơ sở thực nghiệm của Smirnôp thì:
d
l
2n
c
=
vì
d
l
nhỏ nên n
c
= 2.
Nh chúng ta đã biết ảnh hởng của chiều rộng cũng có nghĩa là ảnh hởng
của
2
. Trong biến dạng phẳng trị số K = n
.
S
= 1,15.
S
và vì vậy trên cơ sở của
biểu thức (6.24): p = n
.n
c
.
S
= 2.K (6.25)
Do đó,
2
1
p
K
= . Thay giá trị này vào biểu thức (6.23) ta có:
2,0
2
1
.
4d
l
=
Nh vậy trở lại biểu thức (6.8) ta nhận đợc lợng biến dạng:
2
l
.
d
l
=
(vì l = b)
hay,
2
04,0
=
ở đây
là độ ôvan khi cán ngang và nếu
càng tăng thì lợng biến dạng càng bé.
Các số liệu thực nghiệm cho thấy:
= 1,4.
Nh vậy trị số
sẽ là:
%2
4,1
04,0
2
==
So sánh giá trị này với số liệu thực nghiệm của một số tac sgiả cho thấy khá
bé. Với số liệu thực nghiệm của Ôrơnop và Sơvâykin là 4%, của Phorơmitrep là 5%,
của Xevedencô là 8%.
Vấn đề này một lần nữa cho thấy rằng, khi cán ngang và cán nghiêng có một
sự giảm cờng độ biến dạng dẻo từ ngoài vào trong tâm của tiết diện do trị số rất
nhỏ của lợng ép tới hạn.
Nếu nh biến dạng dẻo nhờ một loạt các lợng ép tới hạn mà thẩm thấu đến
tâm của tiết diện thì trên cơ sở của các biểu thức (6.19) và (6.22) ứng suất của ngoại
lực đợc xác định theo biểu thức:
()
()
=
=
+=
2sin
2
K
2cos21
4
K
2cos21
4
K
(6.26)
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
83
Nếu nh biến dạng dẻo cha thẩm thấu đến tâm tiết diện thì ứng suất ở tâm
của tiết diện đợc tính theo biểu thức:
()
()
=
=
+=
2sin
2
K
.n
2cos21
4
K
.n
2cos21
4
K
.n
(6.27)
với, n là một hệ số biến đổi trong phạm vi từ 0 < n < 1 tuỳ thuộc vào giá trị của
ngoại lực hoặc lợng ép hệ số n cũng có thể tìm từ điều kiện:
()()
+=+
2cos21
4
K
n2cos21
r.
P
Suy ra:
K
P
r.
4
K.r.
P4
n
=
=
Vì P = p.l và r = d/2 nên:
d
l
.
K
p
.
8
n
=
Trớc đây chúng ta đã có:
2
K
p
hay
2
1
p
K
;
d
l
===
Vậy,
= .
16
n
Với
= 1,4:
= 1,7n
Nh hình 6.4,
là góc biến đổi từ 0
ữ
với một giá trị rất bé cho nên cos2
= 1 và sin2
= 0. Vì vậy, từ biểu thức (6.26) ta có:
=
=
=
0
K.n.25,0
K.n.75,0
(6.28)
6.4- Tìm giá trị ứng suất do ngoại lực gây ra trong vùng biến dạng bằng cách
giải phơng trình vi phân cân bằng khi biến dạng phẳng
Với bài toán phẳng, phơng trình vi phân cân bằng kết hợp với điều kiện dẻo là:
()
=+
=
+
=
+
22
xy
2
yx
xyy
xy
x
K44
0
xy
0
yx
(6.29)
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
84
Nếu ta tiếp tục lấy đạo hàm bậc hai của biểu thức (6.29) với x, y thì:
()
yx
yx
2
xy
2
2
xy
2
yx
2
=
và với:
()
2
xy
2
yx
K2 =
Ta có:
2
xy
2
2
2
xy
2
2
xy
2
K
yx
2
yx
=
(6.30)
Để giải phơng trình (6.30) với cán nghiêng cần có những giả thiết và nhận
xét: - Tỷ số l/d rất bé.
- Trị số ứng suất tiếp thay đổi từ 0 đến f.K khi đi giữa bề mặt tiếp xúc
ra ngoài biên. Vì vậy ta coi
xy
= 0 thì nó không phụ thuộc vào tọa độ y.
Vì vậy,
0
x
2
xy
2
=
xy
= C
1
x + C
2
với hằng số C
1
và C
2
lấy theo điều kiện biên nh sau:
x = 0 và
xy
= 0 thì C
2
= 0
Suy ra,
xy
= C
1
x
Vì vậy từ biểu thức (6.29) ta rút ra:
1
xyy
C
xy
=
=
(6.31)
Lấy tích phân ta có:
y
= C
1
y + f(x) (6.32)
Về mặt trị số thì:
y
= p = n
.n
H
.n
v
.n
c
.n
.
S
trong đó, n
= 1; n
H
= 1; n
v
= 1; n
c
= 2 và n
.
S
= K
Khi y = r thì
y
= -2K
Nếu biến dạng thẩm thấu đến tâm tiết diện và giả thiết n = 1 thì từ biểu thức
(6.28) khi y = 0;
y
= -0,75K. Dìng điều kiện biên này cho biểu thức (6.32) ta có:
f(x) = -0,75K;
r
K25,1
C
1
=
Vậy,
K75,0
r
y
K25,1
y
=
(6.33)
Với
xy
= C
1
x, ta có:
r
Kx
25,1
xy
= (6.34)
Khi b = x, ta có: f.K = Kb/r nên f = 1,25b/r = 1,25
Thực tế giá trị này rất bé so với 1 nên 1,25x/r cũng là một đại lợng rất bé, vì
vậy mà phơng trình dẻo có thể viết dới dạng:
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
85
()
K.
r
x.5,2
1K.
K
2
1K.
2
2
xy
yx
=
=
(6.35)
Với điều kiện biên n = 1 và
=
1 thì từ biểu thức (6.28) ta xác định ứng
suất
=
x
. Trên cơ sở các biểu thức (6.33) và (6.35) ta có:
K25,0
r
y
K25,1
x
+= (6.36)
Các hàm số theo biểu thức (6.33) và (6.36) cũng sẽ thoả mãn phơng trình vi
phân cân bằng (6.29) với mọi giá trị của hệ tọa độ x, y. Khi x = 0, điều kiện dẻo viết
dới dạng của biểu thức (6.35) và biểu thức này có dạng nh điều kiện dẻo viết
trong hệ trục chính (x = 0 trên một đờng kính thẳng đứng, hình 6.4), ta có:
+
==
==
==
K25,0
r
K
25,1
K75,0
r
K
25,1
0
x
y
xy
(6.37)
Nếu nh biến dạng dẻo cha thẩm thấu đến tâm tiết diện thì điều kiện biên
của bài toán theo biểu thức (6.28) và phơng trình dẻo có dạng:
x
-
y
= .n.K (6.38)
Bằng cách giải tơng tự nh trên, ta nhận đợc kết quả:
()
()
+
+=
+=
=
K25,0
r
K
n75,02
K75,0
r
K
n75,02
0
(6.39)
Tổng hợp các biểu thức (6.26) và (6.37) ta có các kết quả nh bảng:
ứng suất của ngoại lực tại tâm tiết diện của phôi
(độ) Trị số ứng suất
Trị số ứng suất
z
= (
+
)/2
0 - 0,75K.n + 0,25K.n - 0,25K.n
45 - 0,25K.n - 0,25K.n - 0,25K.n
90 + 0,25K.n - 0,75K.n - 0,25K.n
ứng suất của ngoại lực trên chu vi của phôi
(độ) Trị số ứng suất
Trị số ứng suất
z
= (
+
)/2
0 - 2K - K - 1, 5K.n
45 0 - K - 0,5K.n
90 0 - K - 0,5K.n
Giáo trình: Lý thuyết cán
Trờng Đại học Bách khoa - Đại học Đà Nẵng
86
Nh chúng ta đã biết khi cán ngang thì phôi vừa quay vừa bị biến dạng và
sau một vài lợng ép tới hạn trong phôi xuất hiện ứng suất kéo theo phơng hớng
kính do quá trình biến dạng không đều gây ra và cũng là kết quả của đặc điểm tập
trung ngoại lực trên một đờng kính. Ngoài ra khi cán ngang phôi chịu điều kiện
biến dạng phân lớp trên các phân tố vòng tròn, song phôi lại là một quần thể đặc sít
vì thế mà trong phôi xuất hiện ra ứng suất kéo trong khi đó ứng suất ở ngoài lại chịu
ứng suất nén do trục cán đem lại.
6.5- Những kết quả thực nghiệm khi cán ngang
Ngời ta tiến hành cán trên 3 mẫu có tỷ số giữa chiều dài và đờng kính khác
nhau (hình 6.5). Số liệu thực nghiệm nghiên cứu tỷ số dãn dài của các lớp ở chu vi bên
ngoài của hình trụ l
lk
/l
0
và các lớp ở tâm của mẫu thử l
lu
/l
0
khi
không đổi.
Kết quả thực nghiệm nh trên hình 6.5a. Từ các kết quả thực nghiệm ta có
nhận xét: - Khi l
0
/d
0
< 3 thì ở tâm có hiện tợng co.
- Khi l
0
/d
0
> 3 thì có dãn dài.
- Khi l
0
/d
0
= 3 ta có chiều dài không đổi ở mọi lợng ép đến chừng
nào mà tại tâm cha hình thành những vết rỗng. Chúng ta cũng nhận ra rằng, khi
l
s
/d
v
= 3 thì sơ đồ biến dạng ở tâm phôi là biến dạng phẳng vì ở đây đã xuất hiện
những lỗ rỗng.
Cán ngang có một quy luật rất khắt khe giữa biến dạng đàn hồi và biến dạng
dẻo, do vậy cùng tâm phôi dễ bị phá huỷ. Cũng vì vậy mà kích thớc hình học của
phôi cũng sẽ bị biến đổi theo một quy luật nhất định theo chiều trục của các lợng
ép theo đờng kính. Sự hình thành các lỗ rỗng là kết quả của quá trình chuyển từ
trạng thái dẻo sang trạng thái phá huỷ.
Ngời ta cán một phôi thép hình trụ ở nhiệt độ 1060
0
C trên máy cán có
đờng kính D = 400 mm. Kết quả thực nghiệm nh ở hình 6.6. Qua đồ thị ta thấy
khi lợng ép
d/d
0
% là 7,75% thì biến dạng của lớp ngoài và lớp trong khác biệt
nhau rất lớn, lợng ép càng tăng càng có sự khác biệt. Trên hình 6.6 còn cho biết sự
l
0
/d
0
< 3 l
0
/d
0
= 3
l
0
/d
0
> 3
l
lk
/l
0
; l
lu
/l
0
1,06
1,04
1,02
1,00
0,98
0 1 2 3 4 5 l
0
/d
0
l
lk
/l
0
l
lu
/l
0
= 1,5%
1%
0,5%
0,5%
1%
1,5%
a)
b)
Hình 6.5- Sự phụ thuộc hệ số kéo dài ở các lớp mặt ngoài và
tâm trục của phôi vào tỷ số giữa chiều dài và đờng kính mẫu
a) Số liệu thực nghiệm; b) Sơ đồ
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét