Hình hoc xạ ảnh 19

Gồm các thành viên:
1.HUỲNH MINH NGỌC
2.VÕ VĂN CHẾ LINH
3.CAO VĂN THẢO
4.NGUYÊN THANH HẬU
5.NGUYỄN THỊ VẸN
6.VƯU HUỲNH NHIÊN
7.KHƯU BẢO TRÂN

Bài 19: Trong P
2
cho hệ 4 điểm: A(2,1,1), B(1,2,1),
C(1 1,1), D(-1,1,1) và A’(2,1,5), B’(2,-1,3), C’(-1,2,3),
D’(1,2,1).
a.CMR: Có duy nhất một ánh xạ xạ ảnh f : P
2
-> P
2
sao
cho f(A)= A’, f(B)= B’, f(C)= C’, f(D)= D’.
b.Viết phương trình của f đối với mục tiêu đã chọn.
c. Viết phương trình của f đối với mục tiêu
{ }
DCBA ,,,

BÀI GIẢI
∃
a.Chứng minh: ! Axxa:
f : P
2
P
2
A A’
B B’
C C’
D D’
→
→
→
→
→

Chứng minh: Hệ điểm {A, B, C, D} là mục tiêu xạ ảnh
Xét định thức toạ độ tạo bởi toạ độ 3 điểm A, B, C
•
Ta có định thức:

2 1 1
1 2 1
1 -1 1
= 2
≠
0
Suy ra hệ {A, B, C} độc lập.
Tương tự ta có: {A, C, D}; {A, B, D}; {B, C, D}
độc lập.
Suy ra {A, B, C, D} là mtxa trong P
2
.
Tương tự ta chứng minh được: {A’, B’, C’, D’ }
là mtxa trong P
2
.

Khi đó:
∃


! Ánh xạ xảnh:
f:P
2
P
2
A B
B B’
C C’

D D’





b. Viết phương trình của f đối với mục tiêu đã chọn:
Gọi

là mục tiêu đã chọn:
là cơ sở sinh ra mục tiêu
{ }
3,1
i
e

{ }
3,1
, EA
i
Aa →←

{ }
3,1
, EA
i
đd
Aa
′
→←
′

đd
Cc
→←

đd
Cc
′
 →←
′

đd
;
;
;
;
Bb
→←

Bb
′
→←
′

Dd
→←
′

Dd
′
→←
′

đd
đd
đd
đd
Gọi là cơ sở sinh ra mục tiêu
{ }
111
,, cba



{ }
DCBA ,,,

Ta có:





=++
=++
−=++
⇒







++=
=
=
=
1
12
12
.
.
.
1111
1
1
1
δβα
δβα
δβα
δ
β
α
cbad
cc
bb
aa







⇒
{ }
{ }
{ }





−=
=
−−−=
⇒





=
=
−=
1,1,1
2,4,2
2,2,4
1
2
2
1
1
1
c
b
a



δ
β
α

{ }
111
,, cba
′′′



{ }
DCBA
′′′′
,,,
Gọi: là cơ sở sinh ra mục tiêu
. Tương tự ta có:
{ }
{ }
{ }





−−=
′
−−=
′
=
′
3,2,1
6,2,4
1,2,4
1
1
c
b
a




Sơ đồ của phép biến đổi xạ ảnh f
đối với mục tiêu
{ }
3,1
, EA
i
{ }
3,1
, EA
i
[ ]
X
′
X f(X)

{ }
3,1
)(),( EfAf
i
A
{ }
3,1
i
e

{ }
3,1
)(
i
ef

A
[ ]
X

( )
( )
( )
( )
( )
( )







−−=+−
−−−=++
++=−−−
⇒







=
=
=
321321
321321
321321
11
11
11
32
624242
1024224
eeeeeef
eeeeeef
eeeeeef
ccf
bbf
aaf











( )
( )
( )







−−=
+−=
−−−=
⇔
313
212
3211
2
eeef
eeef
eeeef






⇒
Ta có:
-1 -1 -2
-1 1 0
1 0 -1
A=
⇒
⇒
1 -1 1
-1 1 0
-2 0 -1
A*=
[
]

Phương trình của f đối với mục tiêu
đã chọn là:
{ }
3,1
, EA
i





−−=
′
+−=
′
+−−=
′
⇔
313
212
321
2 xxxk
xxxk
xxxxk
[ ] [ ]
xAxk
*
=
′

c.Viết phương trình của f đối với
mục tiêu
{ }
DCBA ,,,
Sơ đồ của phép toán bđxa đối với
mục tiêu
{ }
DCBA ,,,
B
{ }
DCBA ,,,
Y f(Y)
{ }
DCBA
′′′′
,,,
{ }
111
,, cba



′′′
{ }
111
,, cba



B
[y’ ]
[y]
[y]
[y] [y]

Biểu thị các vectơ thông qua
các vectơ
111
,, cba



111
,, cba
′′′



⇒
Ta có:
-4 2 1 4 -4 1
-2 4 -1 2 2 -2
-2 2 1 -10 -6 -3
1 0 0 3 -1 -2
0 1 0 4 -4/3 -13/6
0 0 1 8 -16/3 -8/3
B=
3 4 8
-1 -4/3 -16/3
-2 -13/6 -8/3
[
]

Xem chi tiết: Hình hoc xạ ảnh 19