Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
THAI NGUYEN UNIVERSITY
THAI NGUYEN UNIVERSITY OF EDUCATION
NGO THI KIM QUY
Major : Analytical Mathematics
Code : 60. 46. 01
SUMMARIZE OF MASTER THESIS IN MATHEMATIC
Scientific Supervisor: Dr. NGUYEN THI TUYET MAI
THAI NGUYEN – 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
2
MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa 1
Mục lục 2
Mở đầu 3
Chƣơng 1. Kiến thức chuẩn bị 6
1.1. Đa tạp phức 6
1.2. Hàm đa điều hoà dưới, tập đa cực, đa chính quy địa phương 7
1.3. Tính chất thác triển Hartogs 9
1.4. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh
hình 10
1.5. Độ đo đa điều hoà dưới và chỉnh hình tách 12
1.6. Ba định lý tính duy nhất và định lý hai hằng số 18
Chƣơng 2. Định lý thác triển Hartogs đối với các ánh xạ chỉnh hình tách
biến 22
2.1. Mở đầu 22
2.2. Các kết quả chính 23
2.3. Phần 1 của chứng minh định lý A 24
2.4. Phần 2 của chứng minh định lý A 31
2.5. Phần 3 của chứng minh định lý A 35
2.6. Phần 4: Chứng minh định lý A trong trường hợp tổng quát 44
Kết luận chung 53
Tài liệu tham khảo 54
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
3
MỞ ĐẦU
Thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong những hướng nghiên cứu
quan trọng của giải tích phức. Những kết quả cơ bản trong lĩnh vực này gắn
liền với các tên tuổi như Riemann, Hartogs, Cartan, Oka, … Ngày nay, nhiều
nhà toán học trên thế giới vẫn tiếp tục quan tâm đến vấn đề trên bằng những
cách tiếp cận khác nhau nhằm giải quyết được những bài toán cụ thể đặt ra
trong lĩnh vực đó.
Như chúng ta đã biết định lý cổ điển của Hartogs khẳng định rằng mỗi
hàm chỉnh hình tách biến trên một miền D trong
n
là chỉnh hình. Đây là một
trong số những kết quả quan trọng của giải tích phức nhiều biến. Vì thế, việc
mở rộng định lý Hartogs đã thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học.
Hướng nghiên cứu này đã phát triển trong lý thuyết của các ánh xạ chỉnh hình
tách và đạt được nhiều kết quả đẹp. Có một thời gian hướng nghiên cứu này
bị gián đoạn, sau đó được khôi phục vào những năm 50, 60 của thế kỷ 20.
Siciak đã có đóng góp đáng kể trong sự phát triển của hướng nghiên cứu này.
Ông đã đưa ra một tổng quát hoá quan trọng mà để chứng minh được thì vấn
đề mấu chốt là phải xác định bao chỉnh hình của các hàm chỉnh hình tách biến
trên các tập chữ thập. Sử dụng hàm cực trị tương đối, Siciak đã chứng minh
được định lý trong trường hợp tập chữ thập gồm tích các miền trong . Các
bước nghiên cứu tiếp theo đã được khởi đầu bởi Zahariuta năm 1976, sau đó
là Nguyễn Thanh Vân và Zeriahi. Shiffman đã là người đầu tiên tổng quát hoá
một số kết quả của Siciak đối với các ánh xạ chỉnh hình tách với các giá trị
trong không gian giải tích phức (xem [15]) . Trong bài báo của Alehyane và
Zeriahi (xem [3]) có thể xác định bao chỉnh hình của tập chữ thập bất kỳ là
tích các miền con của các đa tạp Stein của độ đo đa điều hoà dưới.
Nguyễn Việt Anh tổng quát hoá kết quả của Alehyane – Zeriahi cho tập
chữ thập là tích các đa tạp phức tuỳ ý. Chủ yếu ông sử dụng lý thuyết
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
4
Poletsky về các đĩa (xem [12], [13]), định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh
hình (xem[14]) và định lý Alehyane – Zeriahi (xem[3]). Kỹ thuật quan trọng
khác là sử dụng các tập mức của độ đo đa điều hoà dưới. Kỹ thuật này được
giới thiệu lần đầu tiên trong thời gian gần đây bởi sự kết hợp của Plug và
Nguyễn Việt Anh. Hơn nữa, nhờ kỹ thuật này người ta đã giải quyết được các
vấn đề phát sinh từ lý thuyết của các ánh xạ chỉnh hình tách và các ánh xạ
phân hình.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu định lý thác triển Hartogs
đối với các ánh xạ chỉnh hình tách biến, mà cụ thể là thác triển lên bao chỉnh
hình của các tập chữ thập là tích các đa tạp phức tuỳ ý. Luận văn trình bày lại
kết quả nghiên cứu của Nguyễn Việt Anh trong bài báo [1].
Nội dung chính của luận văn gồm hai chương:
Chƣơng 1: Kiến thức chuẩn bị.
Đề cập chủ yếu đến các khái niệm đa tạp phức, hàm đa điều hoà dưới,
không gian phức có tính chất thác triển Hartogs, tập đa cực địa phương, độ đo
đa điều hoà dưới, chỉnh hình tách.
Sau đó, chúng tôi trình bày các kết quả bổ trợ và một số kiến thức của
lý thuyết đa thế vị như: Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay
trên các đĩa chỉnh hình; các kết quả về độ đo đa điều hoà dưới và các tập mức
của nó, ba định lý tính duy nhất và định lý hai hằng số.
Chƣơng 2: Định lý thác triển Hartogs đối với các ánh xạ chỉnh hình
tách biến.
Trình bày kết quả chính: Nêu và chứng minh một tổng quát của định lý
thác triển Hartogs (định lý A). Chứng minh với trường hợp chữ thập hai lá và
trong trường hợp tổng quát.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
5
Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của cô giáo
T.S Nguyễn Thị Tuyết Mai. Nhân dịp này, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc
nhất đối với cô.
Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm Khoa Toán Trường Đại học
Sư phạm Thái Nguyên cùng các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy chúng em
trong suốt khoá học.
Tôi xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu Trường Đại học Kinh tế và
Quản trị kinh doanh Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm Khoa Khoa học cơ bản và
Bộ môn Toán đã hết sức quan tâm, tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất cho tôi
trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.
Xin chân thành cảm ơn gia đình, đồng nghiệp và bạn bè đã động viên
khích lệ tôi trong suốt quá trình hoàn thành, bảo vệ luận văn này.
Thái Nguyên, ngày 28 tháng 9 năm 2009
Ngô Thị Kim Quy
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
6
CHƢƠNG 1
KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Đa tạp phức
1.1.1. Ánh xạ chỉnh hình
Giả sử X là một tập mở trong
n
và
:fX
là một hàm số.
Hàm
f
được gọi là khả vi phức tại
0
xX
nếu tồn tại ánh xạ tuyến
tính
:
n
sao cho
00
lim 0,
0
f x h f x h
h
h
trong đó
1
, ,
n
n
h h h
và
1/2
2
1
.
n
i
i
hh
Hàm
f
được gọi là chỉnh hình tại
0
xX
nếu
f
khả vi phức trong
một lân cận nào đó của
0
x
và được gọi là chỉnh hình trên X nếu
f
chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc X.
Một ánh xạ
:
m
fX
có thể viết dưới dạng
12
, , , ,
m
f f f f
trong
đó
: , 1, ,
ii
f f X i m
là các hàm toạ độ. Khi đó
f
được gọi là
chỉnh hình trên X nếu
f
i
chỉnh hình trên X với mọi
1, ,im
.
Ánh xạ
:
n
f X f X
được gọi là song chỉnh hình nếu
f
là
song ánh, chỉnh hình và
1
f
cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.1.2. Đa tạp phức
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff.
+ Cặp
,U
được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là
tập mở trong X và
:
n
U
là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thoả
mãn:
i)
U
là tập mở trong
n
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
7
ii)
:UU
là một đồng phôi.
+ Họ
,
ii
iI
U
A
các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập
bản đồ giải tích (atlas) của X nếu các điều kiện sau được thoả mãn:
i)
i
iI
U
là một phủ mở của X.
ii) Với mọi
,
ij
UU
mà
ij
UU
, ánh xạ
1
:
j i i i j j i j
U U U U
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlas trên X. Hai atlas
12
,AA
được gọi là tương đương nếu
12
AA
là một atlas. Đây là một quan hệ tương đương trên tập các atlas. Mỗi
lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X, và X cùng với một
cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n chiều.
1.2. Hàm đa điều hoà dƣới, tập đa cực, đa chính quy địa phƣơng
1.2.1. Hàm điều hoà dưới
Giả sử D là một tập con mở trong
n
. Hàm
: , ,uD
u
trên mọi thành phần liên thông của D được gọi là điều hoà dưới trong D nếu
u
thoả mãn hai điều kiện sau:
i)
u
là nửa liên tục trên trong D, tức là
0
0
limsup
zz
u z u z
với
0
zD
.
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D, với mỗi hàm
:hG
điều hoà trong G và liên tục trên
G
: nếu
uh
trên
G
thì
uh
trên
G
.
1.2.2. Hàm đa điều hoà dưới
Giả sử
là một tập con mở trong
n
. Hàm
:,
được
gọi là đa điều hoà dưới trong
nếu:
i)
là nửa liên tục trên trong
và
trên mọi thành phần liên
thông của
.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
8
ii) Với mỗi điểm
0
z
và mỗi đường thẳng phức
0
.lz
đi
qua
0
z
(ở đó
,
n
), hạn chế
trên đường thẳng này, tức là hàm
l
hoặc là điều hoà dưới hoặc đồng nhất bằng
trên mọi thành phần
liên thông của tập mở
:l
.
1.2.3. Hàm đa điều hoà dưới trên không gian phức
Giả sử X là không gian phức. Một hàm đa điều hoà dưới trên X là hàm
:,X
thoả mãn: Với mỗi
xX
tồn tại lân cận
U
của
x
và một
ánh xạ song chỉnh hình
:h U V
, với V là một không gian con phức đóng
của một miền G nào đó trong
n
và tồn tại một hàm đa điều hoà dưới
:,G
sao cho
.Uh
1.2.4. Tập đa cực
Ta giả thiết tất cả các đa tạp phức là hữu hạn chiều địa phương (tức là
chiều của mỗi thành phần liên thông của đa tạp là hữu hạn) và tất cả các
không gian giải tích phức xét trong luận văn đều giả thiết là được thu gọn, bất
khả quy và hữu hạn chiều.
Giả sử là đa tạp phức và A là tập con của . Đặt
,
: sup{ : , 1
A
h u u u
M
PSH M
trên ,
0u
trên A}
trong đó
PSH M
là kí hiệu nón của tất cả các hàm đa điều hoà dưới trên .
+) Tập A được gọi là đa cực trong nếu có
uu PSH M
sao cho u
không đồng nhất bằng
trên mọi thành phần liên thông của và
:A z u z M
.
+) Tập A được gọi là đa cực địa phương trong nếu với mỗi
zA
, có
một lân cận mở V của z sao cho
AV
là đa cực trong V.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
9
+) Tập A được gọi là không đa cực (tương ứng không đa cực địa
phương) nếu nó không phải là tập đa cực (tương ứng không phải là tập đa cực
địa phương).
Theo một kết quả cổ điển của Josefson và Bedford (xem [4], [8]), nếu
là miền Riemann trên một đa tạp Stein thì
A M
là đa cực địa phương
nếu và chỉ nếu nó đa cực.
1.2.5. Tập đa chính quy địa phương
+) Cho hàm
:h M
, hàm
*
:h M
được xác định bởi:
*
: limsup ,
z
h z h z
w
w M
được gọi là hàm chính quy hoá nửa liên tục trên của
h
.
+) Tập hợp
A M
là đa chính quy địa phương tại một điểm
aA
nếu
*
,
0
A U U
ha
với mọi lân cận mở U của a.
+) Tập A được gọi là đa chính quy địa phương nếu nó đa chính quy địa
phương tại mọi điểm
aA
.
Ta kí hiệu
**
AA
M
là tập hợp tất cả các điểm
aA
mà tại đó A là đa
chính quy địa phương. Nếu A không đa cực địa phương thì một kết quả cổ
điển của Bedford và Taylor (xem [4], [5]) chỉ ra
*
A
không đa cực địa phương
và
*
\AA
là đa cực địa phương. Hơn nữa,
*
A
là địa phương kiểu
G
(tức là
với mỗi
*
aA
, có một lân cận mở U của a thoả mãn
*
AU
là giao đếm
được của các tập mở) và A
*
là đa chính địa phương (tức là
*
**
AA
).
Cho đa tạp phức và không gian giải tích phức Z, kí hiệu
,ZOM
là
tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ vào Z.
1.3. Tính chất thác triển Hartogs
Định nghĩa 1.3.1. Cho số nguyên
2.p
Với
01r
, tập hợp
( ): {( ', ) : '
p
pp
H r z z E z r
hoặc
1}
p
zr
được gọi là lược đồ Hartogs p chiều.
Trong đó E là đĩa đơn vị trong và
11
11
' , , , ' : .
pj
jp
z z z z max z
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn
10
Định nghĩa 1.3.2. Không gian giải tích phức Z được gọi là có tính chất thác
triển Hartogs với p chiều nếu mọi ánh xạ
,
p
f H r ZO
đều thác triển tới
ánh xạ
,
p
f E ZO
. Hơn nữa, Z được gọi là có tính chất thác triển Hartogs
nếu nó có tính chất thác triển Hartogs với mọi chiều
2.p
Kết quả cổ điển của Ivashkovich (xem [6]) nói rằng nếu Z có tính chất
thác triển Hartogs trong 2 chiều thì nó sẽ đúng với mọi số chiều
2.p
Shiffman [15] đã chứng minh được một đặc trưng quan trọng của không gian
có tính chất thác triển Hartogs sau:
Định lý 1.3.3. Không gian giải tích phức Z có tính chất thác triển Hartogs
nếu và chỉ nếu với mọi miền D của đa tạp Stein
, mọi ánh xạ
,f D ZO
đều thác triển được thành ánh xạ
,f D ZO
, trong đó
D
là bao chỉnh
hình của D.
1.4. Lý thuyết Poletsky về các đĩa và định lý của Rosay trên các đĩa chỉnh hình
Kí hiệu E là đĩa đơn vị trong . Với một đa tạp phức , kí hiệu
,EOM
là tập hợp tất cả các ánh xạ chỉnh hình
: E
M
thác triển chỉnh
hình được tới lân cận của
.E
Ánh xạ
như vậy được gọi là đĩa chỉnh hình
trên . Hơn nữa, với tập con A của , đặt:
1 khi
1 ( ):
0 khi \
A
zA
z
zA
M
Rosay đã chứng minh được một kết quả đáng chú ý sau [14]:
Định lý 1.4.1. Giả sử u là hàm nửa liên tục trên trên đa tạp phức
. Khi đó
phiếm hàm Poission của u xác định bởi
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét