Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
với L tại điểm
1
M
nói cách khác, nếu các đường cong
1
L
và
2
L
đi qua
1
M
có
tại điểm này cùng một vectơ tiếp tuyến, thì đạo hàm tại điểm này theo đường
cong
1
L
bằng đạo hàm theo đường cong
2
L
(H. 1.2).
1.2 Gradien của trường vô hướng
Ta xét trường vô hướng u = f(x, y, z) và tính đạo hàm của u theo hướng
vectơ
ℑ
ur
, trong đ ó
ℑ
ur
=
ai
r
+
b j
r
+
ck
r
.
Người ta gọi đạo hàm theo hướng của
vectơ
ℑ
ur
tại điểm M là đạo hàm theo
cung L bất kỳ đi qua M và tiếp xúc với
ℑ
ur
. Đạo hàm riêng
u
x
∂
∂
là đạo hàm theo
hướng vectơ
i
r
, đạo hàm riêng
u
y
∂
∂
là
đạo hàm theo hướng vectơ
j
r
, đạo hàm riêng
u
z
∂
∂
là đạo hàm theo hướng vectơ
k
r
. Trước hết hãy tìm các cosin theo hướng của vectơ
ℑ
ur
.
2 2 2
cos
a
a b c
α =
+ +
;
2 2 2
cos
b
a b c
β =
+ +
;
2 2 2
cos
c
a b c
γ =
+ +
Do đó
2 2 2
u u u
a b c
u
x y z
a b c
∂ ∂ ∂
+ +
∂
∂ ∂ ∂
=
∂ℑ
+ +
ur
(1.3)
Trong biểu thức trên tử số là tích vô hướng cuả vectơ
ℑ
ur
và vectơ có toạ
độ là (
u
x
∂
∂
,
u
y
∂
∂
,
u
z
∂
∂
). Gọi vectơ này là gradien của u và ký hiệu gradu:
Gradu =
u
x
∂
∂
i
r
+
u
y
∂
∂
j
r
+
u
z
∂
∂
k
r
(1.4)
5 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
1
M
H. 1.2
τ
r
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Do đó:
u gradu∂ .ℑ
=
∂ℑ | ℑ|
uur
ur ur
Hay là:
. cos( , )u gradu gradu∂ | | | ℑ| ℑ
=
∂ℑ | ℑ|
ur ur
ur ur
Vậy:
.cos( , )
u
gradu gradu
∂
=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
(1.5)
Ta thấy vế phải của (1.5) là hình chiếu của gradu lên hướng
ℑ
ur
. Từ đây
ta suy ra đạo hàm tại điểm M theo hướng gradu là lớn nhất. Như vậy gradu là
vectơ mà theo hướng của nó hàm u tăng với vận tốc lớn nhất.
Ví dụ 1: Cho trường vô hướng
3 2
x y
u
z
=
xuất phát từ M (1, 2, 1) theo
hướng nào hàm u tăng nhanh nhất.
Giải:
2 2 3 3 2
2
3 2u u u x y x y x y
gradu i j k i j k
x y z z z z
∂ ∂ ∂
= + + = + −
∂ ∂ ∂
r r r r r r
gradu tại M
12 4
M
gradu i j k = + − 4
r r
Đạo hàm theo hướng gradien, tức
2 2 2
ax
( 12 4 ( 4) 176 13.3
m
u∂
) = + + − = ≈
∂ℑ
ur
Ví dụ 2: Tìm đạo hàm của hàm số
2 2
u x y x= +
tại điểm
0
(1,2)M
theo
hướng vectơ
0 1
M M
uuuuuur
trong đó
1
(3,0)M
.
Giải:
Ta thấy
0 1
(2, -2)M M
ℑ = =
ur uuuuuur
2| ℑ|= 2
ur
;
2
2
u
x y
x
∂
= +
∂
;
2
u
xy
y
∂
=
∂
Do đó:
6 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
0
(6,4)
M
gradu =
và
.
2
u gradu∂ ℑ
= =
∂ℑ | ℑ|
ur
ur ur
Định lí: Giả sử gradien của hàm u = f (x, y, z)
tại điểm M khác không. Khi đó nó vuông góc với
đường cong bất kỳ đi qua điểm M và nằm trong mặt
mức u(x, y, z) = C, C là hằng số.
Chứng minh: Vẽ qua điểm M đường cong l
nằm trong mặt mức, bởi vì hàm u không thay đổi khi
nó chuyển động theo đường cong l, nên
0
u
l
∂
=
∂
r
. Nhưng đạo hàm theo cung l
bằng đạo hàm theo hướng tiếp xúc vì thế
0
u∂
=
∂ℑ
ur
.
Theo công thức:
.cos( , )
u
gradu gradu
∂
=| | ℑ
∂ℑ
ur
ur
, do
0
u∂
=
∂ℑ
ur
và gradu ≠ 0 nên
cos( , ) 0gradu ℑ =
ur
. Tức là góc giữa
ℑ
ur
và
gradu
bằng
0
90
.
Quỹ tích các tiếp tuyến tại điểm
0
M
với các đường cong nằm trong mặt
mức gọi là mặt tiếp xúc với mặt này tại điểm
0
M
. Nếu
0
M
có các toạ độ
0 0 0
( , , )x y z
thì:
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
) . ) . ) .
M x y z x y z x y z
u u u
gradu i j k
x y z
∂ ∂ ∂
= ( + ( +(
∂ ∂ ∂
r r r
Phương trình của mặt phẳng tiếp xúc với mặt mức là:
0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 0
) .( ) ) .( ) ) .( ) 0
x y z x y z x y z
u u u
x x y y z z
x y z
∂ ∂ ∂
( − + ( − + ( − =
∂ ∂ ∂
(1.6)
Chú ý: Nếu cho mặt xác định bởi f (x, y, z) = 0, ta có thể xem nó là mặt
mức của hàm u = f (x, y, z) với C = 0. Do đó ta có thể viết mặt phẳng tiếp xúc
với mặt f (x, y, z) = 0 nhờ công thức (1.6).
Ví dụ 3: Hãy viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt parabolic
2 2
z x y= +
tại điểm M (2, 1, 5).
7 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
gradu
l
M
H.1.3
ℑ
ur
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Mặt đã cho có thể xét như một mặt mức của hàm
2 2
u z x y= − −
.
Bởi vì:
2 2 1gradu xi y j k= − − +
r r r
,
cho nên
0
4. 2.
M
gradu i j k = − − +
r r r
.
Do đó phương trình của mặt phẳng tiếp xúc của mặt parabolic đã cho
tại M có dạng:
4( 2) 2( 1) 1( 5) 0x y z− − − − + − =
hay
4 2 5 0x y z− − + + =
1.3 Các tính chất của Gradien
Gradien có các tính chất rất quan trọng sau đây mà ta có thể sử dụng
trong chứng minh các công thức vật lý:
a/ grad(u+v) = gradu + gradv (1.7)
b/ grad(uv) = u.gradv + v. gradu (1.8)
c/ grad
2
u vgradu ugradv
v v
−
=
(v≠0) (1.9)
1.4 Ý nghĩa vật lý của gradien
Từ (1.3) ta thấy gradien của một đại lượng vô hướng cho ta một vectơ.
Cho nên trong vật lý người ta dùng phương
pháp trong đó tính một đại lượng vô hướng
(không đơn trị) một cách đơn giản hơn, nhưng
gradien của nó lại cho ta một đại lượng vật
lý thực dưới dạng vectơ, đơn trị, có thể đo
được trên thực nghiệm. Thí dụ, trong điện động lực học người ta tính thế vô
hướng φ (không đơn trị), nhưng
E grad
ϕ
=
ur
là cường độ điện trường có thể đo
được trên thực nghiệm.
8 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
H.1.4
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
2. DIVE CỦA TRƯỜNG VECTƠ
2.1 Trường vectơ-đường vectơ
2.1.1 Trường vectơ – đường vectơ
Trong vật lý ta luôn tiếp xúc với các trường vectơ như trường lực,
trường từ hay trường điện như
E grad
ϕ
=
ur
được nêu ở trên. Để biểu diễn hình
học trường vectơ ta dùng các đường vectơ, là các đường trong không gian mà
tại mỗi điểm của nó vectơ
A
ur
nằm dọc theo tiếp tuyến của trường tại điểm này.
Nếu trường vectơ là trường lực hấp dẫn, thì các đường vectơ (gọi là các
đường lực) là các tia xuất phát từ gốc toạ độ. Trong trường gradien
A grad
ϕ
=
ur
đường vectơ của trường là đường mà khi chuyển động dọc theo nó, đại lượng
u tăng với vận tốc lớn nhất.
Để tìm đường vectơ của trường
( , , ) ( , , ) ( , , )A P x y z i Q x y z j R x y z k= + +
ur r r r
Ta tiến hành như sau:
Giả sử phương trình tham số của đường vectơ là
x=x(t) ; y=y(t) ; z=z(t)
Khi đó vectơ tiếp xúc tại điểm tuỳ ý của đường này có dạng
x y z
i j k
t t t
∂ ∂ ∂
ℑ = + +
∂ ∂ ∂
ur r r r
Theo định nghĩa của trường vectơ, vectơ này đồng phương với vectơ
của trường tại điểm (x, y, z). Vì thế hình chiếu lên các trục toạ độ của các
vectơ này tỉ lệ với nhau.
( , , ) ( , , ) ( , , )
dx dy dz
dt dt dt
P x y z Q x y z R x y z
= =
(2.1)
Gọi giá trị chung của các tỉ số trên là Φ(x, y, z) ta có:
( , , , ) ( , , )
dx
x y z t P x y z
dt
= Φ
;
9 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
( , , , ) ( , , )
dy
x y z t Q x y z
dt
= Φ
; (2,2)
( , , , ) ( , , )
dz
x y z t R x y z
dt
= Φ
.
Chú ý: vì hàm Φ(x, y, z, t) được chọn tuỳ ý nên phương trình của
đường vectơ là không duy nhất.
Ví dụ: Ta xét trường hấp dẫn sinh ra bởi chất
điểm đặt tại gốc toạ độ. Khi đó các đường vectơ
là các tia xuất phát từ gốc toạ độ, vì thế ống
vectơ trong trường này có dạng hình nón với
đỉnh ở gốc toạ độ (H.2.1).
2.1.2 Thông lượng của trường vectơ qua một mặt
2.1.2.1 Thông lượng
Ta xét một mặt trơn, hữu hạn S đặt trong một trường vectơ
A
ur
nào đó.
Ta chọn trên mặt này một hướng xác định mà ta gọi đó là hướng dương
hướng ngược lại của mặt là hướng âm. Ta nói rằng mặt như vậy là mặt định
hướng.
Ta kí hiệu vectơ pháp tuyến đơn vị tại điểm M của mặt S sao cho vectơ
này hướng từ âm sang dương là vectơ
n
r
. Vị trí của vectơ
n
r
phụ thuộc vào vị
trí điểm M trên mặt.
Xét hàm f (M) = (
A
ur
,
n
r
) được xác định tại mọi điểm của mặt S.
Nếu
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
và các góc chỉ phương của vectơ
n
r
tương ứng
bằng α, β, γ tức là:
n cos cos cosi j k= α + β + γ
r r r r
thì
f(M) cos cos cosP Q R= α + β+ γ
hàm này liên tục trên mặt S, do đó tồn tại tích phân của hàm f(M) trên mặt S.
Tích phân này gọi là thông lượng của trường vectơ qua S và được ký hiệu
bằng chữ Φ:
S S
= ( , )dS= (Pcos Qcos R cos ) A n dS
α β γ
Φ + +
∫∫ ∫∫
uurr
(2.2)
10 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
O
z
x
y
H.2.1
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Chú ý: Khi thay đổi hướng của mặt S ta thay đổi dấu của thông lượng.
Nếu mặt S là mặt kín thì ta thường định hướng như sau: Hướng bên
ngoài của mặt là hướng dương, hướng bên trong là hướng âm.
2.1.2.2 Ý nghĩa vật lý của thông lượng
Trong trường hợp thuỷ động học, thông lượng qua mặt được định
hướng bằng khối lượng chất lỏng chảy qua mặt này trong một đơn vị thời
gian.
Ta xét trường hợp mặt kín S. Nếu thông lượng qua S là mặt dương điều
này nghĩa là lượng chất lỏng chảy từ một phần của không gian được giới hạn
bởi mặt S lớn hơn lượng chất lỏng chảy vào nó. Ngược lại, nếu thông lượng
âm thì lượng chảy vào S lớn hơn lượng chất lỏng chảy ra từ S.
Ví dụ: Cho trường vectơ
( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r
Tính thông lượng của trường này qua bề mặt của hình cầu bán kính với
tâm tại gốc toạ độ.
Trong trường hợp này pháp tuyến tại điểm bất kỳ của mặt S hướng theo
bán kính vectơ tại điểm này. Vì thế vectơ pháp tuyến đơn vị
2 2 2
n
R xi y j zk
xi y j zk
R
x y z
+ +
= = = + +
+ +
ur r r r
r r r r
do
2 2 2
1x y z+ + =
đối với mọi điểm nằm trên mặt đã cho. Như vậy:
2 2 2
( , ) ( ) ( )A n x y x y x y zz x y z= + + − + = + +
ur r
Vì thế thông lượng bằng
2 2 2
( , ) ( ) 4
S S S
A n dS x y z dS dS S
π
= + + = = =
∫∫ ∫∫ ∫∫
ur r
.
2.2 Dive của trường vectơ
2.2.1 Dive của trường vectơ
11 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Dive (divergen) của trường vectơ
A
ur
tại điểm M là giới hạn của tỉ số
thông lượng qua mặt kín bao quanh M và thể tích của miền được giới hạn bởi
bề mặt này
( , )
lim
S
V M
A n dS
divA
V
→
=
∫∫
ur r
ur
(2.3)
Những điểm của trường tại đó dive mang dấu dương được gọi là điểm
nguồn. Những điểm mà tại đó dive mang dấu âm được gọi là những điểm hút.
Giả sử trường vectơ
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
trong đó P, Q, R là những hàm số có đạo hàm cấp1, 2 liên tục thì
( , ) ( cos cos cos )
lim lim
S S
V M V M
A n dS P Q R
divA
V V
α β γ
→ →
+ +
= =
∫∫ ∫∫
ur r
ur
(2.4)
trong đó α, β, γ là những góc chỉ phương của pháp tuyến ngoài.
Theo công thức Ostrogradski ta đưa tích phân mặt về tích phân 3 lớp:
( )
lim
V
V M
P Q R
dV
x y z
divA
V
→
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
=
∫∫∫
ur
(2.5)
Theo định lý giá trị trung bình, trong miền V, ta tìm được một điểm
TB
M
sao
cho:
( ) ( ) .
TB
M
V
P Q R P Q R
dV V
x y z x y z
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
+ + = + +
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
∫∫∫
vì thế
( )
lim lim ( )
TB
V
M
V M V M
P Q R
dV
x y z
P Q R
divA
V x y z
→ →
∂ ∂ ∂
+ +
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂
= = + +
∂ ∂ ∂
∫∫∫
ur
Khi V→ M thì
TB
M
→M, vì thế
P Q R
divA
x y z
∂ ∂ ∂
= + +
∂ ∂ ∂
ur
(2.6)
12 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
Từ công thức (2.4) và (2.5) ta có:
( , )
S V
A n ds divAdV=
∫∫ ∫∫∫
uuruur ur
(2.7)
Như vậy thông lượng của trường vectơ A qua bề mặt kín bằng tích
phân 3 lớp của
divA
ur
trên miền mà bề mặt này giới hạn. Chú ý rằng công thức
này chỉ được nghiệm đúng trong trường hợp khi
divA
ur
liên tục trong miền V.
Ví dụ: Tính thông lượng của trường vectơ
( ) ( )A x y i y x j zk= + + − +
ur r r r
qua mặt cầu đơn vị với tâm tại gốc toạ độ.
Giải:
( ) ( )
3
x y y x z
divA
x y z
∂ + ∂ − ∂
= + + =
∂ ∂ ∂
ur
Vậy thông lượng
4
( , ) 3 3 3. 4
3
S V V
A n dS div AdV dV V
π π
Φ = = = = = =
∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
ur r ur
2.2.2 Trường hình ống
Nếu tại tất cả các điểm của miền G nào đó dive của trường
A
ur
bằng
không, thì ta nói rằng
A
ur
là trường hình ống của miền này.
Ví dụ: Cho trường hấp dẫn
3
mR
F
R
γ
= −
ur
ur
trong miền G nào đó không chứa
gốc tọa độ. Hãy tính
divF
ur
.
Giải:
2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2 2 2 2 3/ 2
( ) ( ) ( )
mx my mz
F i j k
x y z x y z x y z
γ γ γ
= − − −
+ + + + + +
ur r r r
Bằng cách tính trực tiếp ta thấy rằng:
0divF =
ur
tại điểm bất kỳ khác gốc toạ độ. Vậy
F
ur
là trường hình ống trong miền G.
Bây giờ ta tính dive tại gốc toạ độ.
Ta thấy thông lượng qua mặt cầu bán kính a bằng -4π
m
γ
, tỉ số thông
lượng và thể tích hình cầu chứa bên trong bề mặt này bằng
13 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Khóa luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Liên – K31b – Vật Lý
3
3
4 3
4
3
m m
a
a
πγ γ
π
− −
=
Theo định nghĩa:
(0,0,0)
3
0
3
( ) lim
a
m
divF
a
γ
→
= − = −∞
uur
.
2.2.3 Ý nghĩa vật lý của dive
Phép tính dive có nhiều ứng dụng trong vật lý như tính thông lượng của
trường vectơ. Ngoài ra qua biến đổi của tích phân khi tính thông lượng người
ta còn dẫn đến phương trình Maxwell trong điện động lực học
Ddiv
ρ
=
ur
trong đó
D
ur
là vectơ cảm ứng điện , còn ρ là mật độ của điện tích tự do.
3. ROTA CỦA TRƯỜNG VECTƠ
3.1 Lưu thông của trường vectơ theo chu tuyến
Ta xét trường vectơ:
A Pi Q j Rk= + +
ur r r r
và chu tuyến l nằm trong trường này. Ta gọi tích phân đường
l
Pdx Qdy Rdz+ +
∫
(3.1)
là lưu thông của trường vectơ
A
ur
theo chu tuyến.
Ta hiểu ngầm rằng lưu thông không chỉ phụ thuộc vào
A
ur
và l, mà còn
cả hướng của chu tuyến l. Khi thay đổi hướng của đường cong, lưu thông thay
đổi dấu.
Ví dụ 1: Nếu
A
ur
là trường lực thì lưu thông của trường theo chu tuyến l
bằng công khi dịch chuyển chất điểm trong trường lực dọc theo chu tuyến l.
Giả sử đường cong cho dưới dạng tham số:
x = ϕ(t), y = ψ(t) , z = χ(t) với
0
t t T≤ ≤
14 GVHD: T.S Phạm Thị Minh Hạnh
Không có nhận xét nào:
Đăng nhận xét